动量映射与 Noether 定理

Noether 定理常被表述为“连续对称性对应守恒量”。在辛几何中，这句话可以被精确化：对称群的无穷小生成元与哈密顿函数之间由动量映射连接。

1. Lie 群作用

设 Lie 群 $G$ 作用在辛流形 $(M, \omega)$ 上。Lie 代数元素 $\xi \in \mathfrak{g}$ 诱导基本向量场

$$\xi_M(x) = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right|_{t = 0} \exp(t\xi) \cdot x .$$

如果群作用保持辛形式，那么 $\mathcal{L}_{\xi_M}\omega = 0$。局部地，$\iota_{\xi_M}\omega$ 因而是闭一形式。

2. 动量映射

动量映射是映射 $J: M \to \mathfrak{g}^*$，满足对任意 $\xi \in \mathfrak{g}$，函数

$$J_\xi(x) = \langle J(x), \xi \rangle$$

的哈密顿向量场正是 $\xi_M$。换言之，

$$\iota_{\xi_M}\omega = \mathrm{d}J_\xi .$$

3. 旋转对称性

三维空间中的旋转群 $\mathrm{SO}(3)$ 作用在质点相空间上，其动量映射就是角动量

$$J(q, p) = q \times p .$$

中心势只依赖 $|q|$，因此具有旋转不变性，角动量随之守恒。熟悉的向量公式由此成为一般几何机制的一个具体坐标表达。