辛几何：经典力学的自然语言

经典力学常常从一组坐标开始：广义坐标 $q^i$ 和共轭动量 $p_i$。然而哈密顿方程的真正内容并不依赖这组坐标。坐标只是局部的记账方式，背后的几何对象是相空间上的辛形式。

$$\omega = \mathrm{d} q^i \wedge \mathrm{d} p_i .$$

这篇札记的目标，是从熟悉的哈密顿方程出发，逐步把坐标表达重写为几何语言。

1. 从相空间开始

设构型空间为 $Q$。经典系统的状态由位置和动量共同决定，因此自然的相空间是余切丛 $T^*Q$。在局部坐标 $(q^i, p_i)$ 下，余切丛带有典范一形式

$$\theta = p_i \, \mathrm{d} q^i ,$$

其外微分给出典范辛形式 $\omega = - \mathrm{d} \theta$。符号约定并不重要，重要的是 $\omega$ 同时满足闭性与非退化性。

非退化性允许我们把一形式唯一地转换成向量场。这正是能量函数产生动力学的原因。

2. 哈密顿向量场

给定光滑函数 $H: M \to \mathbb{R}$，定义它的哈密顿向量场 $X_H$ 为

$$\iota_{X_H} \omega = \mathrm{d} H .$$

在典范坐标中令 $X_H = a^i \partial_{q^i} + b_i \partial_{p_i}$，代入上式便得到

$$a^i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad b_i = - \frac{\partial H}{\partial q^i} .$$

积分曲线 $\gamma(t)$ 满足 $\dot{\gamma} = X_H$，于是上式正是哈密顿方程。这里的关键变化是：运动方程不再被看作两行特殊的坐标公式，而是由 $H$ 与 $\omega$ 共同决定的向量场。

能量守恒不是额外假设

沿着哈密顿流，能量的变化率为

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} H(\gamma(t)) = \mathrm{d}H(X_H) = \omega(X_H, X_H) = 0 .$$

最后一步来自二形式的反对称性。因此，在没有显含时间的系统里，能量守恒直接编码在辛结构中。

3. Poisson 括号

对两个可观测量 $f$ 与 $g$，定义 Poisson 括号

$$\{f, g\} = \omega(X_f, X_g) .$$

它把相空间上的函数空间变成 Lie 代数。可观测量沿动力学的演化写成

$$\dot{f} = \{f, H\} .$$

这一形式尤其重要，因为它已经隐约呈现量子化的轮廓：经典理论中的 Poisson 括号将在量子理论中被对易子取代。

4. 结构先于坐标

辛几何带来的核心观念可以概括为：坐标帮助计算，结构解释不变量。典范变换、守恒量、Liouville 定理以及经典系统的量子化，都不应被理解为偶然的坐标技巧。它们是同一个辛结构在不同问题中的投影。

下一篇将从作用量原理出发，解释 Lagrange 子流形如何把 Hamilton–Jacobi 理论嵌入这幅几何图景。