路径积分中的经典极限

量子传播子可以形式地写成对所有路径的求和：

$$K(q_f, t_f; q_i, t_i) = \int \mathcal{D}q \, \exp\!\left(\frac{\mathrm{i}}{\hbar} S[q]\right).$$

当 $\hbar \to 0$ 时，相位快速振荡，相邻路径的贡献大多彼此抵消；只有作用量的一阶变分消失时，相位才在局部保持稳定。

驻相条件

令 $q = q_{\mathrm{cl}} + \eta$，且端点处 $\eta = 0$。作用量展开为

$$S[q] = S[q_{\mathrm{cl}}] + \delta S[q_{\mathrm{cl}}; \eta] + \frac{1}{2} \delta^2 S[q_{\mathrm{cl}}; \eta] + \cdots .$$

经典轨道由 $\delta S = 0$ 选出。于是经典极限并不是“只保留一条路径”，而是量子振幅在驻相点附近发生相干叠加。

半经典结构

二阶涨落决定 Van Vleck 行列式，并给传播子带来经典流的稳定性信息。这说明半经典近似并非简单删除量子效应，而是把它们组织成围绕经典轨道的涨落层级。