旋转与角动量与对称性(下)

再论旋转·

SO(3)和SU(2)·

这两个群是最简单的非平庸非阿贝尔李群, 然而不仅SO(3)可以表征三维空间的旋转, SU(2)也可以. 事实上, SU(2)是SO(3)的双覆盖群. 也就是说, 任意一个SO(3)的元素都有两个对应的SU(2)的元素. 但是, 两个群的李代数是一样的. 也就是说, 两个群的生成元是一样的. 但是, 两个群的元素是不一样的. 一个SO(3)的元素是一个旋转, 一个SU(2)的元素是一个幺正矩阵.

一个核心的观点是用一个二维矩阵来表示三位空间中的任意矢量:

$$\mathcal{R} = \boldsymbol{r} \cdot \hat{\sigma}=\begin{pmatrix} z & x-iy \\ x+iy & z \end{pmatrix}$$

这个矩阵 $\mathcal{R}$ 的性质如下:

$$\det \mathcal{R} = - (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \qquad \operatorname{Tr} \mathcal{R} = 0 \qquad \mathcal{R} = \mathcal{R}^{\dagger}$$

于是任意一个作用在 $\mathcal{R}$ 上的连续线性变换都不会改变其行列式、迹和厄米性质. 如果线性变换是幺正的, 它对 $\mathcal{R}$ 的作用是保持行列式和迹不变的. 可见任意一个二维的幺正矩阵都可以表示三维空间中的一个旋转.

一个 spin 1/2 的旋转矩阵可以写成

$$D^{1 /2}(R) = Q_0 + i \boldsymbol{Q} \cdot \boldsymbol{\sigma} = \begin{pmatrix} Q_0 + iQ_3 & iQ_1 + Q_2 \\ iQ_1 - Q_2 & Q_0 - iQ_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \\\end{pmatrix}$$

而行列式为 1 要求 $|a|^{2} + |b|^{2} = 1$. 这两个参数被称为Cayley-Klein参数. 它们和 $(\hat{n}, \phi)$ 的关系为

$$a = \cos \frac{\phi}{2} - i \sin \frac{\phi}{2} \cos \theta \qquad b = -i e^{-i \varphi} \sin \frac{\phi}{2} \sin \theta$$

需要注意的一点是:矩阵 $D^{1 /2}(R)$ 是转动群 $SO(3)$ 的双值表示.

欧拉转动·

经典力学中, 旋转可以利用三个欧拉角表示: $\gamma, \beta, \alpha$. 有

$$R(\alpha, \beta, \gamma) = R_{z'}(\gamma)R_{y'}(\beta)R_{z}(\alpha)$$

特别注意 $\beta$ 角是关于本体 $y$ 轴的旋转角度, 而不是大部分经典里学书里的本体 $x$ 轴. 实际上这来源于泡利矩阵的定义问题, $\sigma_{y}$ 是纯虚矩阵, 这一特性使得 $\beta$ 角定义在 $y$ 轴上更加方便.

在寻求化简得路上, 很幸运地, 我们有关系式:

$$R_{y'}(\beta) = R_{z}(\alpha) R_{y}(\beta) R_{z}^{-1}(\alpha)$$

这一关系式的图解如下: 这样欧拉转动的表达式可以写成:

$$R_{z'}(\gamma)R_{y'}(\beta)R_{z}(\alpha) = R_{z}(\alpha)R_{y}(\beta)R_{z}(\gamma)$$

于是

$$D(R) = e^{-i \alpha J_{z}} e^{-i \beta J_{y}} e^{-i \gamma J_{z}}$$

于是转动矩阵写为

$$D_{mm'}^{j}(R) = \bra{j m}D(R)\ket{j m'} = e^{-i \alpha m} d_{mm'}^{j}(\beta) e^{-i \gamma m'}$$

其中

$$d_{mm'}^{j}(\beta) = \bra{j m}e^{-i \beta J_{y}}\ket{j m'}$$

SU(2)的不可约表示与施温格振子模型·

群的不可约表示·

对任意群， 其元素 $(g_1, g_2\cdots)$ 是 $K$ 维空间中的矩阵$M_{k}(g)$满足复合律:

$$M_{k}(g_2) M_{k}(g_1) = M_{k}(g_1 g_2)$$

构成群的表示. 如果存在一个幺正变换 $U$ 使得对任意 $g$ 有

$$U^{\dagger} M_{k}(g) U = \begin{bmatrix} M_{m} & 0 \\ 0 & M_{n} \\\end{bmatrix}$$

即使得 $M_{k}$ 能被约化成分块对角的形式, 那么这个表示就是可约的. 如果不存在这样的幺正变换, 那么这个表示就是不可约的.

对于群SU(2), 它具有 $(2j+1)$ 维表示, 作为角动量本征值 $j$ 的转动群. 也就是说群的维数和群的表示维数是两个概念. 如果一个群所有的不可约表示都已知, 则群的任意一个变换都是可以从这些不可约表示中构造出来的.

于是, 接下来我们要做的事情是利用SU(2)的"最小"不可约表示, 也就是 $j = 1/2$ 的表示, 来构造出SU(2)的所有其他维表示.

在正式进入施温格振子模型之前, 我先断言: 谐振子满足SU(2)的对称性. 这一断言是由观察两者的李代数得出的. 在SU(2)的二维表示中, 泡利矩阵构成三个算符: $\sigma_{\pm}, \sigma_{z}$. 在谐振子中, 则是 $a, a^{\dagger}, N$. 它们满足的对易关系相同. 于是可以断言谐振子具有SU(2)的对称性.

施温格振子模型·

经过了前面的铺垫, 现在直接开始讨论施温格振子模型. 考虑两个无耦合的谐振子, 它们构成态:

$$\ket{n_{+}, n_{-}}$$

其中 $n_{+}, n_{-}$ 分别是两个谐振子的量子数. 即

$$N_{+} \ket{n_{+}, n_{-}} = n_{+} \ket{n_{+}, n_{-}} \qquad N_{-} \ket{n_{+}, n_{-}} = n_{-} \ket{n_{+}, n_{-}}$$

还有

$$a_{+}^{\dagger} \ket{n_{+}, n_{-}} = \sqrt{n_{+} + 1} \ket{n_{+} + 1, n_{-}} \qquad a_{-}^{\dagger} \ket{n_{+}, n_{-}} = \sqrt{n_{-} + 1} \ket{n_{+}, n_{-} + 1}$$

和

$$a_{+} \ket{n_{+}, n_{-}} = \sqrt{n_{+}} \ket{n_{+} - 1, n_{-}} \qquad a_{-} \ket{n_{+}, n_{-}} = \sqrt{n_{-}} \ket{n_{+}, n_{-} - 1}$$

真空态自然由

$$a_{+} \ket{0, 0} = 0 \qquad a_{-} \ket{0, 0} = 0$$

定义.

现在我们构造

$$J_{+} = \hbar a_{+}^{\dagger} a_{-} \qquad J_{-} = \hbar a_{-}^{\dagger} a_{+} \qquad J_{z} = \frac{\hbar}{2}(N_{+} - N_{-})$$

很明显它们给出的是通常角动量之间的对易关系. 再定义总 $N$ 为

$$N = N_{+} + N_{-} = a_{+}^{\dagger} a_{+} + a_{-}^{\dagger} a_{-}$$

于是

$$J^{2} = J_{z}^{2} + \frac{1}{2}(J_{+}J_{-} + J_{-}J_{+}) = \frac{\hbar^{2}}{2} N\left(\frac{N}{2} + 1\right)$$

现在来观察 $J_{\pm}$ 和 $J_{z}$ 的作用:

$$J_{z} \ket{n_{+}, n_{-}} = \frac{\hbar}{2}(n_{+} - n_{-}) \ket{n_{+}, n_{-}}$$

$$J_{+} \ket{n_{+}, n_{-}} = \hbar \sqrt{n_{-}(n_{+} + 1)} \ket{n_{+} + 1, n_{-} + 1}$$

$$J_{-} \ket{n_{+}, n_{-}} = \hbar \sqrt{n_{+}(n_{-} + 1)} \ket{n_{+} - 1, n_{-} + 1}$$

注意到所有的操作都保证 $n_{+} + n_{-}$ 不变. 就像角动量的升降算符保证 $j$ 不变一样. 于是我们做替换:

$$n_{+} \to j+m \qquad n_{-} \to j - m$$

则

$$\sqrt{n_{-}(n_{+} + 1)} \to \sqrt{(j-m)(j+m+1)} \qquad \sqrt{n_{+}(n_{-}+1)} \to \sqrt{(j+m)(j-m+1)}$$

还有

$$\hbar ^{2} \frac{n_{+} + n_{-}}{2} \left(\frac{n_{+} + n_{-}}{2}+ 1 \right) \to \hbar^{2} j(j+1)$$

利用 $j, m$ 表示这些态, 而不是原来的 $a_{+}, a_{-}$, 得到

$$\ket{j, m} = \frac{(a_{+}^{\dagger})^{j + m} (a_{-}^{\dagger})^{j - m}}{\sqrt{ (j+m)!(j-m)!}} \ket{0}$$

总的来说, 一个角动量量子数与磁量子数 $j, m$ 的系统在旋转变换下的性质可以用 $2j$ 个自旋1/2的粒子来模拟.

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换一个思路, 其实在自旋1/2中:

$$D^{\frac{1}{2}}(a,b)\begin{pmatrix} u_1\\ u_2 \\\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} au_1 + bu_2 \\ -b^{*} u_1 + a^{*} u_2\end{pmatrix}$$

想要构造 $j$ 的表示, 就是构造多项式 $u_1^{p} u_2^{q}$ 符合 $j$ 的旋转变换. $u_1$ 的变换和 $\ket{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}}$ 一致, 则 $u_1^{2j}$ 的变换和 $2j$ 个 $\ket{\frac{1}{2}, \frac{1}{2}}$ 的积一致, 也就是 $\ket{j, j}$. 再考虑一个一般的转动会保持 $j$ 不变的情况下产生所有的 $m$. 而 $u_1^{2j} \to (au_1 + bu_2) ^{2j}$ 是一个 $2j$ 次多项式, 即 $p + q = 2j$. 进一步考虑 $u_2$ 的变换, 得到 $p - q = 2m$.

则一个态 $\ket{k, m}$ 可以写作(注意这里只是数学上的等效)

$$\Phi _{jm} = c_{jm} u_1^{j+m} u_2^{j-m}$$

相应的角动量算符构造如下:

$$J_{+} = \hbar u_{1} \frac{\partial}{\partial u_{2}} \qquad J_{-} = \hbar u_{2} \frac{\partial}{\partial u_{1}} \qquad J_{z} = \frac{\hbar}{2}\left(u_{1} \frac{\partial}{\partial u_{1}} - u_{2} \frac{\partial}{\partial u_{2}}\right)$$

还有常数 $c_{jm}$:

$$c_{jm} = \frac{1}{\sqrt{(j + m)! (j - m )!}}$$

最终结果

$$\Phi _{jm}(u_1, u_2) = \frac{u_1^{j + m}u_2^{j - m}}{\sqrt{(j + m)! (j - m )!}}$$

转动算符的显式表示·

延续刚才的第二种思路, 利用

$$\ket{j,m; R} = D{R} \ket{j, m} = \sum_{m'} \ket{j, m'} D^{j}_{m'm}(R)$$